Sau khi tìm hiểu tính chất nguyên hàm để hiểu cơ sở lý thuyết. Trang bị những kiến thức căn bản như bảng nguyên hàm, nguyên hàm từng phần, … thì các em đã có kiến thức nền khá tốt. Giờ chúng ta có thể giải bài tập trắc nghiệm nguyên hàm tương đối tốt.
Câu 1. [ Trích đề thi minh họa ] Một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = \sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) là
A. \(F(x) = – \cos x + \tan x + \sqrt 2 – 1\).
B. \(F(x) = \cos x + \tan x + \sqrt 2 – 1\).
C. \(F(x) = – \cos x + \tan x + 1 – \sqrt 2 \).
D. \(F(x) = – \cos x + \tan x\).
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}\int {\left( {\sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} d{\rm{x}} = – \cos x + \tan x + C\\ \Rightarrow F(x) = – \cos x + \tan x + C\end{array}\)
\(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow C = \sqrt 2 – 1\). Vậy\(F(x) = – \cos x + \tan x + \sqrt 2 – 1\)
Câu 2. [ Trích đề thi chuyên SPHN ] Một nguyên hàm F(x)của hàm số\(f(x) = 2\sin 5x + \sqrt x + \frac{3}{5}\) thỏa mãn đồ thị của hai hàm số F(x) và \(f(x)\) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là
A. \(F(x) = – \frac{2}{5}\cos 5x + \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{5}x + 1\).
B. \(F(x) = \frac{2}{5}\cos 5x + \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{5}x + 1\).
C. \(F(x) = 10\cos 5x + \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{3}{5}x + 1\).
D. \(F(x) = – \frac{2}{5}\cos 5x + \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{5}x\).
Hướng dẫn giải
Ta có\(F(x) = – \frac{2}{5}\cos 5x + \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{5}x + C\)
và \(F(0) = f(0) \Leftrightarrow C = 1\)
Vậy\(F(x) = – \frac{2}{5}\cos 5x + \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{5}x + 1\)
Câu 3. [ Trích đề thi Chuyên PBC ] Hàm số\(F(x) = (a{x^2} + bx + c){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số\(f(x) = {x^2}{e^x}\) thì \(a + b + c\) bằng:
A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. \( – 2\).
Hướng dẫn giải
Ta có\(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow a{x^2} + (2a + b)x + b + c = {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2a + b = 0\\b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 2\\c = 2\end{array} \right.\)
Vậy\(a + b + c = 1\)
Câu 4. [ Trích đề thi Chuyên Vinh ] Một nguyên hàm F(x) của hàm số\(f(x) = a + b\cos 2x\) thỏa mãn \(F(0) = \frac{\pi }{2}\), \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{6}\), \(F\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) = \frac{\pi }{3}\) là
A. \(F(x) = – \frac{2}{3}x + \frac{{7\pi }}{9}\sin 2x + \frac{\pi }{2}\).
B. \(F(x) = – \frac{2}{3}x + \frac{{7\pi }}{9}\sin 2x\).
C. \(F(x) = – \frac{2}{3}x – \frac{{7\pi }}{9}\sin 2x + \frac{\pi }{2}\).
D. \(F(x) = – \frac{2}{3}x + \frac{{7\pi }}{9}\sin 2x – \frac{\pi }{2}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(F(x) = ax + \frac{b}{2}\sin 2x + C\)
và\(\left\{ \begin{array}{l}F(0) = \frac{\pi }{2}\\F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{6}\\F\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) = \frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{2}{3}\\b = \frac{{7\pi }}{9}\\C = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
Vậy \(F(x) = – \frac{2}{3}x + \frac{{7\pi }}{9}\sin 2x + \frac{\pi }{2}\)
Câu 5. [ Trích đề thi Nguyễn Trãi ] Cho hàm số \(F(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) là một nguyên hàm của hàm số\(f(x)\) thỏa mãn \(f(1) = 2,\) \(f(2) = 3,f(3) = 4\). Hàm số F(x)là
A. \(F(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + 1\).
B. \(F(x) = – \frac{1}{2}{x^2} + x + 1\).
C. \(F(x) = – \frac{1}{2}{x^2} – x + 1\).
D. \(F(x) = \frac{1}{2}{x^2} – x + 1\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(f(x) = F'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\)
và $\left\{ \begin{array}{l}f(1) = 2\\f(2) = 3\\f(3) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + c = 2\\12a + 4b + c = 3\\27a + 6b + c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{1}{2}\\c = 1\end{array} \right.$
Vậy \(F(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + 1\).
Câu 6. [ Trích đề thi Chuyên Thái Bình ] Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = tan(x).sin(2x) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\) là
A. \(F(x) = x – \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2} – \frac{\pi }{4}\).
B. \(F(x) = x + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{\pi }{4} – 1\).
C. \(F(x) = \frac{2}{3}{\cos ^3}x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
D. \(x + \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{\pi }{4}\).
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}\int {\tan x.\sin 2x} dx\\ = \int {(1 – \cos 2x)dx = x – \frac{1}{2}\sin 2x + C} \\ \Rightarrow F(x) = x – \frac{1}{2}\sin 2x + C\end{array}\)
và \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2} – \frac{\pi }{4}\)
Vậy\(F(x) = x – \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2} – \frac{\pi }{4}\).
Câu 7. [ Trích đề thi Chuyên Lê Hồng Phong ] Cho hàm số \(f(x) = {\tan ^2}x\) có nguyên hàm là F(x). Đồ thị hàm số y = F(x) cắt trục tung tại điểm\(A(0;2)\). Khi đó F(x) là
A. \(F(x) = \tan x – x + 2\).
B. \(F(x) = \tan x + 2\).
C. \(F(x) = \frac{1}{3}{\tan ^3}x + 2\).
D. \(F(x) = \cot x – x + 2\).
Hướng dẫn giải
\(F(x) = \int {f(x)dx} = \int {{{\tan }^2}xdx} = \tan x – x + C\).
Vì đồ thị hàm số \(y = F(x)\) đi qua điểm \(A(0;2)\) nên \(C = 2\).
Vậy \(F(x) = \tan x – x + 2\).
Câu 8. [ Trích đề thi sở GD&ĐT Hà Nội ] Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số\(f(x) = {\tan ^2}x\). Giá trị của \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) – F(0)\)bằng
A. \(1 – \frac{\pi }{4}\).
B. \(\frac{\pi }{4}\).
C. \(1 + \frac{\pi }{4}\).
D. \(\sqrt 3 – \frac{\pi }{4}\).
Hướng dẫn giải
\(F\left( x \right) = \tan x – x + C \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) – F(0) = 1 – \frac{\pi }{4}\)
Hy vọng với một số bài tập trắc nghiệm nguyên hàm kèm lời giải ở trên đã giúp ích bạn có cái hiểu sâu hơn về nguyên hàm. Chúc bạn học tập hiệu quả