Một trong những nguyên hàm gây đau đầu học sinh là nguyên hàm logarit, phần này ta đã được biết các công thức cơ bản. Bài viết này giới thiệu nguyên hàm ln nâng cao. Đây là công thức quan trọng, khó nhớ nên trước khi học phần này bạn phải học thuộc nguyên hàm cơ bản.
Phương pháp
a) $\int {\ln \left( {{u^2} + {b^2}} \right)du} = u\ln \left( {{u^2} + {b^2}} \right) + 2b.\arctan \left( {\frac{u}{a}} \right) – 2u + C$
b) $\int {u\ln \left( {au + b} \right)du} = \frac{{bu}}{{2a}} – \frac{{{u^2}}}{4} + \frac{1}{2}\left( {{u^2} – \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right)\ln \left( {au + b} \right) + C$
c) $\int {\frac{{\ln \left( {au} \right)du}}{u}} = \frac{1}{2}{\left( {\ln \left( {au} \right)} \right)^2} + C$
d) $\int {\ln \left( {au + b} \right)du} = \left( {u + \frac{b}{a}} \right)\ln \left( {au + b} \right) – u + C,a \ne 0$
e) $\int {\ln \left( {{u^2} – {a^2}} \right)du} = u\ln \left( {{u^2} – {a^2}} \right) + a.ln\left( {\frac{{u + a}}{{u – a}}} \right) – 2u + C$
f) $\int {\ln \left( {au} \right)du} = u\ln \left( {au} \right) – u + C$
Bài tập vận dụng
Câu 1. $\begin{array}{l}\\\\\\\\\\\end{array}$ Hàm số\(f(x) = {e^x}\left( {\ln 2 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{si{n^2}x}}} \right)\) có họ nguyên hàm là
A. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 – \cot x + C\).
B. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 + \cot x + C\).
C. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + C\).
D. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + C\).
Hướng dẫn giải
$\int {f(x)} dx = \int {\left( {{e^x}\ln 2 + \frac{1}{{si{n^2}x}}} \right)} dx = {e^x}\ln 2 – \cot x + C$
Câu 2. Tính \(\int {\ln xdx} \) bằng:
A. \(x\ln x – x + C\).
B. $x\ln x – \frac{{{x^2}}}{2}\ln x + C$.
C. \(\frac{1}{x}\ln x – x + C\).
D. \(x\ln x – \frac{1}{x} + C\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\). Ta có\(\int {\ln xdx} = x\ln x – \int {dx = } x\ln x – x + C\).
Câu 3. Tính \(\int {2x\ln (x – 1)dx} \) bằng:
A. \(({x^2} – 1)\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} – x + C\).
B. \({x^2}\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} – x + C\).
C. \(({x^2} + 1)\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} – x + C\).
D. \(({x^2} – 1)\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} + x + C\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln (x – 1)\\dv = 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x – 1}}dx\\v = {x^2} – 1\end{array} \right.\)
Ta có\(\int {2x\ln (x – 1)dx} = ({x^2} – 1)\ln (x – 1) – \int {(x + 1)dx = } ({x^2} – 1)\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} – x + C\).
Câu 4. Kết quả tính \(\int {2x\ln (x – 1)dx} \) bằng:
A. \(({x^2} – 1)\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} – x + C\).
B. \({x^2}\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} – x + C\).
C. \(({x^2} + 1)\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} – x + C\).
D. \(({x^2} – 1)\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} + x + C\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln (x – 1)\\dv = 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x – 1}}dx\\v = {x^2} – 1\end{array} \right.\)
Ta có\(\int {2x\ln (x – 1)dx} = ({x^2} – 1)\ln (x – 1) – \int {(x + 1)dx = } ({x^2} – 1)\ln (x – 1) – \frac{{{x^2}}}{2} – x + C\)
Câu 5. Biết hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{\ln x}}{{x\sqrt {{{\ln }^2}x + 3} }}\) có đồ thị đi qua điểm \(\left( {e;2016} \right)\). Khi đó hàm số \(F\left( 1 \right)\) là
A. \(\sqrt 3 + 2014\).
B. \(\sqrt 3 + 2016\).
C. \(2\sqrt 3 + 2014\).
D. \(2\sqrt 3 + 2016\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(t = \sqrt {{{\ln }^2}x + 3} \) và tính được \(F\left( x \right) = \sqrt {{{\ln }^2}x + 3} + C\).
\(F\left( e \right) = 2016 \Rightarrow C = 2014 \Rightarrow F\left( x \right) = \sqrt {{{\ln }^2}x + 3} + 2014 \Rightarrow F\left( 1 \right) = \sqrt 3 + 2014\)