Nguyên hàm chứa căn thức là dạng tương đối hay, thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia. Để chinh phục điểm cao, học sinh cần ôn luyện dạng này cẩn thận. Phần bảng nguyên hàm ta đã tìm hiểu sơ qua. Bài viết này sẽ đi sâu vào chủ đề các dạng nguyên hàm chứa căn thức.
Những nguyên hàm quan trọng
- $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right) + c$
- $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} = \arcsin \frac{x}{{\left| a \right|}} + c$
- $\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} = \frac{1}{a}\arccos \frac{x}{{\left| a \right|}} + c$
- $\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = – \frac{1}{a}\ln \left| {\frac{{a + \sqrt {{x^2} + {a^2}} }}{x}} \right| + c$
- $\int {\sqrt {{a^2} – {x^2}} dx} = \frac{{x\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}\arcsin \left( {\frac{x}{a}} \right) + c$
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {2{\rm{x}} + 1} \).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{3}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{3}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \frac{1}{3}\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
Hướng dẫn giải
Dựa vào nguyên hàm quan trọng trên ta đặt \(t = \sqrt {2x + 1} \Rightarrow d{\rm{x}} = t{\rm{d}}t\)
$ \Rightarrow \int {\sqrt {2{\rm{x}} + 1} d{\rm{x = }}\int {{t^2}dt = \frac{{{t^3}}}{3} + C} = \frac{1}{3}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C} $
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {5 – 3{\rm{x}}} \).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \frac{2}{9}\left( {5 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \frac{2}{3}\left( {5 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} \).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{9}\left( {5 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} \).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \frac{2}{3}\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} + C\).
Hướng dẫn giải
Đây là bài nguyên hàm cơ bản, ta có thể dùng bảng nguyên hàm quan trọng
Đặt \(t = \sqrt {5 – 3{\rm{x}}} \Rightarrow d{\rm{x}} = – \frac{{2t{\rm{d}}t}}{3}\)
\(\int {\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} d{\rm{x}} = – \frac{2}{9}\left( {5 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} + C} \).
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} \).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{3} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{3}{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{3\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{2} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{2{e^{\frac{{3{\rm{x}} + 2}}{2}}}}}{{3{\rm{x}} + 2}} + C\)
Hướng dẫn giải
\(\int {\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} d{\rm{x}} = \frac{2}{3}\int {{e^{\frac{{3{\rm{x}}}}{2}}}.d\left( {\frac{{3{\rm{x}}}}{2}} \right) = \frac{2}{3}.{e^{\frac{{3{\rm{x}}}}{2}}} + C = \frac{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{3} + C} } \)
Qua bài viết này hay vọng đã giúp được em hình dung về khái niệm nguyên hàm chứa căn thức và những điều căn bản cần nhớ. Hy vọng bài học sẽ giúp ích em trong quá trình học tập.