Trong bài viết về bảng công thức tích phân chúng ta đã có nhiều cách để giải tuy nhiên khi đi thi, thời gian bị giới hạn trong khi số câu là xác định. Vì vậy cần một phương pháp giải hiệu quả. Bài viết này giới thiệu Phương Pháp Đổi Biến Số, đây là phương pháp khá hay giúp ta giải quyết một số bài tập đặc trưng về tích phân. Admin nghĩ em phải rèn luyện được kĩ năng này để có phản ứng nhạy bén khi giải mỗi bài. Ok, nếu em đã trang bị tốt thì chúng ta bắt đầu học kiến thức:
Cơ sở lý thuyết
Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn ${\text{[}}a;b{\text{]}}{\text{.}}$Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn ${\text{[}}a;b{\text{]}}$ và $\alpha \leqslant u(x) \leqslant \beta .$
Giả sử có thể viết $f(x) = g(u(x))u'(x),x \in {\text{[}}a{\text{;}}b{\text{],}}$ với $g$ liên tục trên đoạn ${\text{[}}\alpha ;\beta {\text{]}}.$
Khi đó, ta có: $I = \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {g(u)du} .$
Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số $x = \varphi (t)$ có đạo hàm và liên tục trên đoạn ${[\alpha ;\beta ]^{(*)}}$ sao cho $\varphi (\alpha ) = a,\varphi (\beta ) = b$ và $a \leqslant \varphi (t) \leqslant b$ với mọi $t \in {\text{[}}\alpha ;\beta {\text{]}}.$ Khi đó:
$\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_\alpha ^\beta {f(\varphi (t))} \varphi ‘(t)dt.$
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
- $\sqrt {{a^2} – {x^2}} $: đặt $x = |a|\sin t;\;\;t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$
- $\sqrt {{x^2} – {a^2}} $: đặt $x = \frac{{|a|}}{{\sin t}};\;\;t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\backslash {\text{\{ }}0\} $
- $\sqrt {{x^2} + {a^2}} $: $x = |a|\tan t;\;\;t \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$
- $\sqrt {\frac{{a + x}}{{a – x}}} $hoặc $\sqrt {\frac{{a – x}}{{a + x}}} $: đặt $x = a.\cos 2t$
Bài tập vận dụng cao
Câu 1. Nếu $\int\limits_2^5 {{k^2}\left( {5 – {x^3}} \right)dx} = – 549$ thì giá trị của $k$ là:
A.$ \pm 2$
B. 2.
C. $ – 2$ .
D. 5.
Hướng dẫn giải
$\begin{gathered} \int\limits_2^5 {{k^2}\left( {5 – {x^3}} \right)dx} = – 549 \hfill \\ \Leftrightarrow \left. {{k^2}\left( {5x – \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_2^5 = – 549 \hfill \\ \Leftrightarrow {k^2} = \frac{{ – 549}}{{\frac{{ – 549}}{4}}} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow k = \pm 2. \hfill \\ \end{gathered} $
Câu 2. Giá trị của tích phân $\int\limits_0^1 {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} $ là
A. $30\frac{1}{3}$.
B. $60\frac{1}{3}$.
C. $60\frac{2}{3}$.
D. $30\frac{2}{3}$.
Hướng dẫn giải
Đặt $u = 2x + 1$ khi $x = 0$ thì$u = 1$. Khi $x = 1$ thì $u = 3$
Ta có: $du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{2}$.
Do đó:
$\begin{gathered} \int\limits_0^1 {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} \hfill \\ = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {{u^5}du} \hfill \\ = \frac{{{u^6}}}{{12}}\left| \begin{gathered} 3 \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \frac{1}{{12}}({3^6} – 1) \hfill \\ = 60\frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} $.
Câu 3. Giá trị của tích phân $\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\cos (3x – \frac{{2\pi $u = \frac{{4\pi }}{3}$}}{3})dx} $ là
A. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. $ – \frac{{\sqrt 2 }}{3}$.
C. $ – \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.
D.$ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
Hướng dẫn giải
Đặt $u = 3x – \frac{{2\pi }}{3}$. Khi $x = \frac{\pi }{3}$ thì $u = \frac{\pi }{3}$, khi $x = \frac{{2\pi }}{3}$ thì .
Ta có $du = 3dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{3}$.
Do đó:
$\begin{gathered} \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\cos (3x – \frac{{2\pi }}{3})dx} \hfill \\ = \frac{1}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{4\pi }}{3}} {\cos udu} = \left. {\frac{1}{3}\sin u} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{4\pi }}{3}} \hfill \\ = \frac{1}{3}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{3} – \sin \frac{\pi }{3}} \right) \hfill \\ = \frac{1}{3}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{gathered} $.
Câu 4. Giá trị của tích phân: $I = \int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx$ là
A. $\frac{{{\pi ^2}}}{2}$.
B. $\frac{{{\pi ^2}}}{6}$.
C. $\frac{{{\pi ^2}}}{8}$.
D. $\frac{{{\pi ^2}}}{4}$.
Hướng dẫn giải
$\begin{gathered} x = \pi – t \Rightarrow dx = – dt \hfill \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^\pi {\frac{{\left( {\pi – t} \right)\sin t}}{{1 + {{\cos }^2}t}}} dt \hfill \\ = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin t}}{{1 + {{\cos }^2}t}}} dt – I \hfill \\ \Rightarrow 2I = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin t}}{{1 + {{\cos }^2}t}}} dt \hfill \\ = – \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{d(\cos t)}}{{1 + {{\cos }^2}t}}} \hfill \\ = \pi \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}} \right) \hfill \\ \Rightarrow I = \frac{{{\pi ^2}}}{4} \hfill \\ \end{gathered} $
Câu 5. Giá trị tích phân $J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^4}x + 1} \right)\cos x} dx$ là
A. $\frac{2}{5}$.
B. $\frac{3}{5}$.
C.$\frac{4}{5}$.
D. $\frac{6}{5}$.
Hướng dẫn giải
$\begin{gathered} J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^4}x + 1} \right)\cos x} dx \hfill \\ = \left. {\left( {\frac{1}{5}{{\sin }^5}x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{6}{5} \hfill \\ \end{gathered} $
Câu 6. Giá trị tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x – \cos x}}{{\sqrt {1 + \sin 2x} }}dx} $ là
Hướng dẫn giải
$\begin{gathered} t = \sqrt {1 + \sin 2x} \hfill \\ \Rightarrow {t^2} = 1 + \sin 2x \hfill \\ \Rightarrow 2tdt = 2\cos 2xdx \hfill \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \Rightarrow dx = \frac{{tdt}}{{t\left( {\cos x – \operatorname{s} {\text{inx}}} \right)}} \hfill \\ \Rightarrow I = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\frac{1}{t}dt} = \ln \left| t \right|\left| \begin{gathered} \sqrt 2 \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ = \ln (\sqrt {2)} = \frac{1}{2}\ln 2 \hfill \\ \end{gathered} $
Câu 7. Giá trị tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{{1 + 3\cos x}}dx} $ là
A. $\frac{2}{3}\ln 2$.
B. $\frac{2}{3}\ln 4$.
C. $\frac{1}{3}\ln 4$.
D. $\frac{1}{3}\ln 2$.
Hướng dẫn giải
Đặt t = 1 + 3cosx
$\begin{gathered} \Rightarrow dt = – 3\sin xdx \hfill \\ \Rightarrow dx = \frac{{ – dt}}{{3\sin x}} \hfill \\ \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_1^4 {\frac{1}{t}dt} \hfill \\ = \frac{{\ln \left| t \right|}}{3} = \frac{1}{3}\ln 4 \hfill \\ \end{gathered} $
Câu 8. Giá trị của tích phân $I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}dx}}{{\sqrt {{e^x} – 1} }}} $ là
A. $\frac{5}{3}$.
B. $\frac{{10}}{3}$.
C. $\frac{{20}}{3}$.
D. $\frac{2}{3}$.
Hướng dẫn giải
$\begin{gathered} t = \sqrt {{e^x} – 1} \Leftrightarrow {t^2} = {e^x} – 1 \hfill \\ \Rightarrow dx = \frac{{2tdt}}{{{e^x}}} \hfill \\ \Rightarrow I = 2\int\limits_1^2 {\left( {{t^2} + 1} \right)dt} \hfill \\ = 2\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + t} \right)\left| \begin{gathered} 2 \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \frac{{20}}{3} \hfill \\ \end{gathered} $
Bài hướng dẫn trên phần nào giúp bạn biết thêm được 1 cách tính tích phân bậc cao nữa. Hy vọng nó hữu ích.