Ta đã biết được tính chất nguyên hàm căn bản, tuy nhiên kiến thức đó chưa đủ để giải các bài tập nguyên hàm. Bài học này sẽ giới thiệu bảng nguyên hàm bắt buộc mỗi học sinh cần nhớ. Nó là hành trang theo các em về sau. Trong bảng nguyên hàm này sẽ gồm nguyên hàm căn bản và nguyên hàm của hàm hợp
Nguyên hàm căn bản
1. Sơ cấp
a) $\int {d{\rm{x}} = x + C} $
b) $\int {{x^\alpha }d{\rm{x}} = \frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right)} $
c) $\int {\frac{1}{x}d{\rm{x}} = \ln \left| x \right|} + C$
2. Hàm hợp sơ cấp
a) $\int {d{\rm{u}} = u + C} $
b) $\int {{u^\alpha }d{\rm{u}} = \frac{1}{{\alpha + 1}}{u^{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right)} $
c) $\int {\frac{1}{u}d{\rm{u}} = \ln \left| u \right|} + C$
3. Bài tập vận dụng
Dựa vào nguyên hàm sơ cấp, hãy giải các ví dụ sau:
a) $\int {10d{\rm{x}}} $
b) $\int {d\left( {\sin 2x} \right)} $
c) $\int {{x^8}d{\rm{x}}} $
d) $\int {{{\left( {\sin 2x} \right)}^{10}}d\left( {\sin 2x} \right)} $
Hướng dẫn giải
a) $\int {10d{\rm{x}}} = 10 + C$
b) $\int {d\left( {\sin 2x} \right)} = \sin 2x + C$
c) $\int {{x^8}d{\rm{x}}} = \frac{1}{{8 + 1}}{x^{8 + 1}} + C = \frac{{{x^9}}}{9} + C$
d) $\int {{{\left( {\sin 2x} \right)}^{10}}d\left( {\sin 2x} \right)} = \frac{1}{{10 + 1}}{\left( {\sin 2x} \right)^{10 + 1}} + C = \frac{{{{\left( {\sin 2x} \right)}^{11}}}}{{11}} + C$
Nguyên hàm của hàm mũ
1. Hàm mũ
2. Hàm hợp của hàm mũ
a) \(\int {{e^u}d{\rm{u}} = {e^u} + C} \)
b) \(\int {{a^u}d{\rm{u}} = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\left( {a > 0,a \ne 1} \right)} \)
3. Bài tập vận dụng
Dựa vào công thức nguyên hàm của các hàm mũ, hãy giải các bài tập cơ bản sau
a) $\int {2{e^x}d{\rm{x}}} $
b) $\int {{e^{2x}}d\left( {2x} \right)} $
c) $\int {{3^x}d{\rm{x}}} $
Hướng dẫn giải
Dự vào nguyên hàm của hàm mũ ta có thể giải bài toán nhanh gọn như sau
a) $\int {2{e^x}d{\rm{x}}} = 2{e^x} + C$
b) $\int {{e^{2x}}d\left( {2x} \right)} = {e^{2x}} + C$
c) $\int {{3^x}d{\rm{x}}} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$
Nguyên hàm của hàm lượng giác
1. Lượng giác
a) \(\int {\sin x{\rm{dx}} = – \cos {\rm{x}} + C} \)
b) \(\int {\cos {\rm{xdx}} = \sin x + C} \)
c) \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}d{\rm{x}} = \tan x + C} \)
d) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}d{\rm{x}} = – \cot x + C} \)
2. Hàm hợp của hàm lượng giác
a) \(\int {\sin u{\rm{du}} = – \cos {\rm{u}} + C} \)
b) \(\int {\cos {\rm{udu}} = \sin u + C} \)
c) \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}d{\rm{u}} = \tan u + C} \)
d) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}d{\rm{u}} = – \cot u + C} \)
3. Bài tập vận dụng
a) $\int {8\sin x{\rm{dx}}} $
b) $\int {2\sin u{\rm{du}}} $
c) $\int {9\cos {\rm{xdx}}} $
d) $\int {3\cos \left( {2x} \right){\rm{d}}\left( {2x} \right)} $
e) $\int {\frac{1}{{6{{\cos }^2}x}}d{\rm{x}}} $
f) $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {7{e^x}} \right)}}d\left( {7{e^x}} \right)} $
g) $\int {\frac{3}{{{{\sin }^2}x}}d{\rm{x}}} $
h) $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {2{e^2}} \right)}}d\left( {2{e^2}} \right)} $
Hướng dẫn giải
a) $\int {8\sin x{\rm{dx}}} = – 8\cos {\rm{x}} + C$
b) $\int {2\sin u{\rm{du}}} = – 2\cos {\rm{u}} + C$
c) $\int {9\cos {\rm{xdx}}} = 9\sin x + C$
d) $\int {3\cos \left( {2x} \right){\rm{d}}\left( {2x} \right)} = 3\sin \left( {2x} \right) + C$
e) $\int {\frac{1}{{6{{\cos }^2}x}}d{\rm{x}}} = \frac{1}{6}\tan x + C$
f) $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {7{e^x}} \right)}}d\left( {7{e^x}} \right)} = \tan \left( {7{e^x}} \right) + C$
g) $\int {\frac{3}{{{{\sin }^2}x}}d{\rm{x}}} = – 3\cot x + C$
h) $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {2{e^2}} \right)}}d\left( {2{e^2}} \right)} = – \cot \left( {2{e^2}} \right) + C$
Khi em đọc tới đây chứng tỏ em đã khá quan tâm, hẳn đã học được khá nhiều kiến thức cũng như cách vận dụng tốt bảng nguyên hàm phía trên. Hy vọng qua bài tập này ta đã hiểu thêm được nguyên hàm phải không nào.