Sau khi học tính chất nguyên hàm và bảng nguyên hàm thì các em đã có kiến thức căn bản. Muốn rèn luyện kĩ năng giải bài sao cho hiệu quả thì ta phải làm nhiều bài tập. Dựa vào việc giải bài tập nguyên hàm ta sẽ tăng tính phản xạ, giúp giải nguyên hàm nhanh.
Bài tập cơ bản
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số\(f(x) = {e^x}(3 + {e^{ – x}})\) là
A. \(F(x) = 3{e^x} + x + C\).
B. \(F(x) = 3{e^x} + {e^x}\ln {e^x} + C\).
C. \(F(x) = 3{e^x} – \frac{1}{{{e^x}}} + C\).
D. \(F(x) = 3{e^x} – x + C\).
Hướng dẫn giải
\(F(x) = \int {{e^x}(3 + {e^{ – x}})} dx = \int {(3{e^x} + 1)dx = 3{e^x}} + x + C\)
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }}\) là
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \sqrt {2{\rm{x}} – 1} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt {2{\rm{x}} – 1} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }}{2} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – 2\sqrt {2{\rm{x}} – 1} + C\).
Hướng dẫn giải
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }}d{\rm{x}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)}}{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }} = \sqrt {2{\rm{x}} – 1} + C} } \).
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} \).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{3} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{3}{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{3\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{2} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{2{e^{\frac{{3{\rm{x}} + 2}}{2}}}}}{{3{\rm{x}} + 2}} + C\)
Hướng dẫn giải
\(\int {\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} d{\rm{x}} = \frac{2}{3}\int {{e^{\frac{{3{\rm{x}}}}{2}}}.d\left( {\frac{{3{\rm{x}}}}{2}} \right) = \frac{2}{3}.{e^{\frac{{3{\rm{x}}}}{2}}} + C = \frac{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{3} + C} } \)
Câu 4. Tính \(F(x) = \int {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} \). Chọn kết quả đúng
A.\(F(x) = x\tan x + \ln |\cos x| + C\).
B. \(F(x) = – x\cot x + \ln |\cos x| + C\).
C. \(F(x) = – x\tan x + \ln |\cos x| + C\).
D. \(F(x) = – x\cot x – \ln |\cos x| + C\).
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với \(u = x,dv = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}dx\)
Phương pháp trắc nghiệm:
Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) – f(x) = 0\).
Nhập máy tính \(\frac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) – f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng\(0\) thì chọn.
Bài tập nâng cao
Câu 1. Kết quả tính \(\int {\frac{1}{{x\left( {x + 3} \right)}}dx} \) bằng
A. \(\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C\).
B. \( – \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C\).
C. \(\frac{2}{3}\ln \left| {\frac{{x + 3}}{x}} \right| + C\).
D. \(\frac{2}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C\).
Hướng dẫn giải
\(\frac{1}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 3}}} \right)\).
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\cos ^2}x.\sin x\).
A. \(\int {f(x)dx = – \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} \).
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} \).
C. \(\int {f(x)dx = – \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
Hướng dẫn giải:
\(\int {{{\cos }^2}x\sin xdx = – \int {co{s^2}xd(\cos x) = – \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} } \)
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x – 1}}\).
A. \(\int {f(x)dx = – \ln \left| {\sin x} \right|} + C\).
B. \(\int {f(x)dx = \ln \left| {\cos 2x – 1} \right|} + C\).
C. \(\int {f(x)dx = \ln \left| {\sin 2x} \right|} + C\).
D. \(\int {f(x)dx = \ln \left| {\sin x} \right|} + C\).
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}\int {\frac{{\sin 2xdx}}{{\cos 2x – 1}}} = \int {\frac{{2\sin x\cos x}}{{1 – 2{{\sin }^2}x + 1}}dx} \\ = – \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} = – \int {\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} = – \ln \left| {\sin x} \right| + C\end{array}\)
Bài tập tự luyện
Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x + C\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{3}{x^2} + 2x + C\).
C. \(F\left( x \right) = 2x + 3 + C\).
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{2}{3}{x^2} + 2x + C\).
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
B. \(\int {f(x).dx = \sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
C. \(\int {f(x)dx = – \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{6}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
Câu 3. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(\int {\sin xdx = \cos x + C} \).
B. \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C,x \ne 0\).
D. \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C,(0 < a \ne 1)\).
C. \(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\).
Câu 4. Kết quả\(\int {{e^{\sin x}}\cos xdx} \) bằng
A.\({e^{\sin x}} + C\).
B. \(\cos x.{e^{\sin x}} + C\).
C. \({e^{\cos x}} + C\).
D. \({e^{ – \sin x}} + C\).
Câu 5. Nếu \(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x – 1}}\) và \(F\left( 2 \right) = 1\) thì \(F\left( 3 \right)\) bằng
A. \(\ln 2 + 1\).
B. \(\ln \frac{3}{2}\).
C. \(\ln 2\).
D. \(\frac{1}{2}\).
Trên đây là những bài tập nguyên hàm, được sắp xếp từ căn bản tới nâng cao nhằm hỗ trợ học sinh học tập hiệu quả và đạt kết quả cao.