Tích phân là một đơn vị kiến thức quan trọng thuộc chương trình toán lớp 12. Chủ đề này có nhiều bài tập xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Vì là kiến thức quan trọng nên các bài tập tích phân thường gây khó khăn cho hs. Bài trước admin đã giới thiệu bảng công thức tích phân nhằm hỗ trợ lý thuyết. Bài này sẽ hỗ thống các bài tập thường gặp nhằm giúp học sinh giải tốt hơn, các bài tập được trích từ đề thi thử
Bài tập 1: [ Đề thi Chuyên KHTN ] Tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx\).
b) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} \).
Hướng dẫn giải
Dựa vào công thức đổi biến số dạng 2 đã học, ta giải:
a) Đặt \(x = \sin t\) ta có \(dx = \cos tdt.\) Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\).
Vậy \(I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {|\cos t|} dt = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {cost} dt = \sin t|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1.\)
b) Đặt \(x = \tan t,\) ta có \(dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 0\\x = 1 \to t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\).
Vậy \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt} = t|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4}.\)
Bài tập 2: [ Đề thi Chuyên Quảng ngãi ] Tính tích phân \(I = \int\limits_{ – 2}^2 {|x + 1|dx} \).
Hướng dẫn giải
Dựa vào tính chất cận trung gian để tính tích phân ta có thể giải:
Nhận xét: $\left| {x + 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 1,{\rm{ }} – 1 \le x \le 2{\rm{ }}\\ – x – 1,{\rm{ }} – 2 \le x < – 1{\rm{ }}\end{array} \right..$Do đó
$\begin{array}{l}I = \int\limits_{ – 2}^2 {|x + 1|dx} = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {|x + 1|dx} + \int\limits_{ – 1}^2 {|x + 1|dx} \\ = – \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left( {x + 1} \right)dx} + \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {x + 1} \right)dx} \\ = – \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ – 1}^2 = 5.\end{array}$
Bài tập 3: [ Đề thi Chuyên Thái Bình ] Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x\cos xdx} \).
Hướng dẫn giải
Dựa vào công thức đổi biến số dạng 1, ta giải như sau:
Đặt\(u = \sin x.\) Ta có \(du = \cos xdx.\) Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow u(0) = 0;x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1.\)
Khi đó $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x\cos xdx} = \int\limits_0^1 {{u^2}du} = \frac{1}{3}{u^3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3}.$
Bài tập 4: [ Đề thi Chuyên Lê Hồng Phong] Tính các tích phân sau :
a) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx.} \)
b) \(I = \int\limits_0^{e – 1} {x\ln (x + 1)dx} \).
Hướng dẫn giải
Dựa vào tích phân từng phần:
a)Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = – \cos x\end{array} \right.\).
Do đó $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} = \left( { – x\cos x} \right)|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = 0 + \sin x|_0^{\frac{\pi }{2}}{\rm{ }} = {\rm{1}}{\rm{.}}$
b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln (x + 1)\\dv = xdx\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\v = \frac{{{x^2} – 1}}{2}\end{array} \right.\)
$\begin{array}{c}I = \int\limits_0^{e – 1} {x\ln (x + 1)dx} = \left. {\left[ {\ln (x + 1)\frac{{{x^2} – 1}}{2}} \right]} \right|_0^{e – 1} – \frac{1}{2}\int\limits_0^{e – 1} {(x – 1)dx} \\ = \frac{{{e^2} – 2e + 2}}{2} – \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| {_0^{e – 1}} \right.\\ = \frac{{{e^2} – 2e + 2}}{2} – \frac{1}{2}\frac{{{e^2} – 4e + 3}}{2} = \frac{{{e^2} + 1}}{4}.\end{array}$
Bài tập 5: [ Đề thi Chuyên nguyễn Trãi ] Tính các tính phân sau:
a)${\rm{I}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{(1 + x)}^3}}}} $.
b) \({\rm{I}} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \).
c) \({\rm{I}} = \int\limits_0^1 {\frac{{2x + 9}}{{x + 3}}dx} \).
d) \({\rm{I}} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{4 – {x^2}}}dx} \).
Hướng dẫn giải
Dùng công thức tích phân cơ bản để giải:
a)\({\rm{I}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{(1 + x)}^3}}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{d(1 + x)}}{{{{(1 + x)}^3}}}} = – \left. {\frac{1}{{2{{(1 + x)}^2}}}} \right|_0^1 = \frac{3}{8}\).
b)\({\rm{I}} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 – \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left( {x – \ln (x + 1)} \right)\left| {_0^1} \right. = 1 – \ln 2\).
c)\({\rm{I}} = \int\limits_0^1 {\frac{{2x + 9}}{{x + 3}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {2 + \frac{3}{{x + 3}}} \right)dx = \left. {\left( {2x + 3\ln (x + 3)} \right)} \right|_0^1} = 3 + 6\ln 2 – 3\ln 3\).
d)${\rm{I}} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{4 – {x^2}}}dx} = – \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {4 – {x^2}} \right)}}{{4 – {x^2}}}} = \left. {\ln |4 – {x^2}|} \right|_0^1 = \ln \frac{3}{4}$.
Trên là một số bài tập tích phân khá hay được trích dẫn trong đề thi thử. Hy vọng nó sẽ hữu ích giúp bạn đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Chúc bạn học tập hiệu quả.