Nhờ bảng công thức nguyên hàm hẳn bạn đã hệ thống những vấn đề cần học, kiến thức trở lên dễ dàng hơn. Bảng công thức tích phân cũng vậy, bài này sẽ hệ thống mọi công thức tích phân và các dạng bài tập cũng như cách giải nhanh. Nghĩa là dựa vào đề bài ta đối chiếu với dạng trong đây từ đó tìm ra hướng giả nhanh
Dạng 1. Dùng tính chất của tích phân
- $\int\limits_a^b {f(x)dx + } \int\limits_b^c {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} } $(\(a < b < c\) )
- \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k.\int\limits_a^b {f(x)dx} } {\rm{ }}(k \in \mathbb{R})\)
- \(\int\limits_a^a {f(x)dx = 0} \)
- \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm } \int\limits_a^b {g(x)dx} \).
- \(\int\limits_a^b {f(x)dx = – \int\limits_b^a {f(x)dx} } \)
Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {{\rm{[}}f(x) + g(x){\rm{]}}dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} + } \int\limits_a^b {g(x)dx} \) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 3: Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí: Nếu \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a;b] thì
\(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {\left( {u(x)v(x)} \right)} \right|_a^b – \int\limits_a^b {u'(x)v(x)dx} \),
hay viết gọn là \(\int\limits_a^b {udv = uv|_a^b – } \int\limits_a^b {vdu} \). Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính \(I = \int\limits_a^b {P(x).Q(x)dx} \)
Dạng 4: Phương pháp đổi biến số
Chủ đề: Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}{\rm{.}}$Giả sử hàm số $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ và \(\alpha \le u(x) \le \beta .\) Giả sử có thể viết \(f(x) = g(u(x))u'(x),x \in {\rm{[}}a{\rm{;}}b{\rm{],}}\) với liên tục trên đoạn ${\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}}.$ Khi đó, ta có
\(g\)\(I = \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {g(u)du} .\)
Chủ đề: Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn \([a;b].\) Giả sử hàm số \(x = \varphi (t)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \({[\alpha ;\beta ]^{(*)}}\) sao cho \(\varphi (\alpha ) = a,\varphi (\beta ) = b\) và \(a \le \varphi (t) \le b\) với mọi \(t \in {\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}}.\) Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_\alpha ^\beta {f(\varphi (t))} \varphi ‘(t)dt.\)
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
- \(\sqrt {{a^2} – {x^2}} \): đặt \(x = |a|\sin t;\;\;t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)
- $\sqrt {{x^2} – {a^2}} $: đặt \(x = \frac{{|a|}}{{\sin t}};\;\;t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
- $\sqrt {{x^2} + {a^2}} $: \(x = |a|\tan t;\;\;t \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
- \(\sqrt {\frac{{a + x}}{{a – x}}} \)hoặc \(\sqrt {\frac{{a – x}}{{a + x}}} \): đặt \(x = a.\cos 2t\)
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \) thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân \(I = \int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \) thì nên đổi biến dạng 1.
Trên đây là hệ thống các công thức tích phân thường gặp và những dạng mà thầy cô hay dạy trên lớp. Ngoài ra bạn có thể tham khảo thêm cách giải casio tích phân. Hy vọng các em học sinh có thể nhớ tốt các công thức trên từ đó giải được nhiều bài tập nâng cao.