Trong bài bảng nguyên hàm ta đã tìm hiểu công thức và vài ví dụ cơ bản. Nhằm giúp nâng cao kiến thức cho học sinh ta sẽ tìm hiểu sâu về nguyên hàm của e mũ u. Đây là hàm hợp nâng cao dành cho học sinh khá và giỏi.
Cơ sở lý thuyết
1. Hàm mũ
2. Hàm hợp của hàm mũ
a) \(\int {{a^u}d{\rm{u}} = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\left( {a > 0,a \ne 1} \right)} \)
b) \(\int {{e^u}d{\rm{u}} = {e^u} + C} \)
Bài tập vận dụng cao
Câu 1. Một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = {({e^{ – x}} + {e^x})^2}\) thỏa mãn điều kiện \(F(0) = 1\) là
A. \(F(x) = – \frac{1}{2}{e^{ – 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + 1\).
B. \(F(x) = – 2{e^{ – 2x}} + 2{e^{2x}} + 2x + 1\).
C. \(F(x) = – \frac{1}{2}{e^{ – 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x\).
D. \(F(x) = – \frac{1}{2}{e^{ – 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x – 1\).
Hướng dẫn giải
Ta có\(F(x) = – \frac{1}{2}{e^{ – 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + C,F(0) = 1 \Leftrightarrow C = 1\)
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}}{{2x + 1}}\).
A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{8}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + \frac{5}{4}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{1}{8}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + 5\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
C. \(F\left( x \right) = {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + \ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
D. \(F\left( x \right) = {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} – \ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
Hướng dẫn giải
$\begin{array}{l}\int {\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 3}}{{2{\rm{x}} + 1}}d{\rm{x}}} \\ = \int {\left( {\frac{{2x + 1}}{2} + \frac{5}{{2\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}}} \right)d{\rm{x}}} \\ = \frac{1}{8}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + \frac{5}{4}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\end{array}$
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{e^{2{\rm{x}}}}}}{{{e^x} + 1}}\).
A. \(F\left( x \right) = {e^x} – \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\).
B. \(F\left( x \right) = {e^x} + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\).
C. \(F\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\).
D. \(F\left( x \right) = {e^{2x}} – {e^x} + C\).
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}\int {\frac{{{e^{2{\rm{x}}}}}}{{{e^x} + 1}}d{\rm{x}}} \\ = \int {\left( {{e^x} – \frac{{{e^{\rm{x}}}}}{{{e^x} + 1}}} \right)d{\rm{x}}} \\ = {e^x} – \int {\frac{{d\left( {{e^{\rm{x}}} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}}} \\ = {e^x} – \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\end{array}\)