Ở bài bảng nguyên hàm ta đã làm quen với công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản. Tuy nhiên để hiểu sâu dạng toán này, ta cần phải bàn chi tiết từ công thức căn bản tới nâng cao. Tất nhiên ứng với mỗi nguyên hàm lượng giác ta nên có 1 ví dụ minh họa phải không nào.
Hệ thống công thức
1. Công thức cơ bản
a) \(\int {\sin x{\rm{dx}} = – \cos {\rm{x}} + C} \)
b) \(\int {\cos {\rm{xdx}} = \sin x + C} \)
c) \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}d{\rm{x}} = \tan x + C} \)
d) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}d{\rm{x}} = – \cot x + C} \)
2. Hàm hợp của hàm lượng giác
a) \(\int {\sin u{\rm{du}} = – \cos {\rm{u}} + C} \)
b) \(\int {\cos {\rm{udu}} = \sin u + C} \)
c) \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}d{\rm{u}} = \tan u + C} \)
d) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}d{\rm{u}} = – \cot u + C} \)
Bài tập minh họa
Bài 1. Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2}\) biết \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}\).
A. \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} – \frac{{\sin x}}{2} + \frac{1}{2}\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin x}}{2} + \frac{3}{2}\).
C. \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin x}}{2} + \frac{1}{2}\).
D. \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin x}}{2} + \frac{5}{2}\).
Hướng dẫn giải
\(F(x) = \int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\int {\left( {1 – \cos x} \right)dx} } = \frac{x}{2} – \frac{1}{2}\sin x + C\)
\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} – \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{2} + C = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\)
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\cos ^2}x.\sin x\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} \).
C. \(\int {f(x)dx = – \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = – \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} \).
Hướng dẫn giải
\(\int {{{\cos }^2}x\sin xdx = – \int {co{s^2}xd(\cos x) = – \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} } \)
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin x.\cos 2x.dx\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{6}\cos 3x – \frac{1}{2}\sin x + C} \).
B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{6}\cos 3x + \frac{1}{2}\sin x + C} \).
C. \(\int {f(x)dx = \frac{{ – 2{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C} \).
Hướng dẫn giải
\(\int {\sin x.\cos 2xdx} = \int {\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)\sin xdx} = – \int {\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)d\left( {\cos x} \right)} = \frac{{ – 2{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C\)