Một trong những dạng tích phân hay ra nhất trong đề thi THPT Quốc Gia gần đây chính là dạng toán tích phân chứa căn. Không phải ngẫu nhiên như vậy, tích phân này khá hay. Nó đòi hỏi người học phải trang bị các kinh nghiệm giải toán tốt thêm nữa là nhớ chính xác các công thức tích phân đã được học, có vậy kĩ năng biến đổi mới thành thục.
Câu 1. Giá trị của tích phân $I = \int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} – 1} } dx$ là
A. $\frac{{4 – \pi }}{3}$.
B. $\frac{{4 – \pi }}{2}$.
C. $\frac{{5 – \pi }}{3}$.
D. $\frac{{5 – \pi }}{2}$.
Hướng dẫn giải
$\begin{array}{l} t = \sqrt {{e^x} – 1} \\ \Rightarrow {t^2} = {e^x} – 1\\ \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx\\ \Rightarrow dx = \frac{{2tdt}}{{{e^x}}} = \frac{{2tdt}}{{{t^2} + 1}}\\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{2{t^2}}}{{{t^2} + 1}}} dt\\ = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 – \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)} dt = \frac{{4 – \pi }}{2} \end{array}$
Câu 2. Hãy tính tích phân của hàm chứa căn thức $I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x\sqrt[3]{{2 + {{\ln }^2}x}}}}{x}dx} $.
A $\frac{3}{8}\left[ {\sqrt[3]{{{3^5}}} – \sqrt[3]{{{2^5}}}} \right]$.
B. $\frac{3}{8}\left[ {\sqrt[3]{{{3^5}}} – \sqrt[3]{{{2^4}}}} \right]$.
C. $\frac{3}{8}\left[ {\sqrt[3]{{{3^4}}} – \sqrt[3]{{{2^5}}}} \right]$.
D. $\frac{3}{8}\left[ {\sqrt[3]{{{3^4}}} – \sqrt[3]{{{2^4}}}} \right]$.
Hướng dẫn giải
$\begin{array}{c} I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x\sqrt[3]{{2 + {{\ln }^2}x}}}}{x}dx} \\ = \int\limits_1^e {\ln x} \sqrt[3]{{2 + {{\ln }^2}x}}d\left( {\ln x} \right)\\ = \frac{1}{2}\int\limits_1^e {{{\left( {2 + {{\ln }^2}x} \right)}^{\frac{1}{3}}}d\left( {2 + {{\ln }^2}x} \right)} \\ = \frac{3}{8}.\left. {\sqrt[3]{{{{\left( {2 + {{\ln }^2}x} \right)}^4}}}} \right|_1^e = \frac{3}{8}\left[ {\sqrt[3]{{{3^4}}} – \sqrt[3]{{{2^4}}}} \right] \end{array}$
Câu 3. Giá trị của tích phân $I = \int\limits_{ – 8}^{ – 3} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {1 – x} }}dx} $ là
A.$\ln \frac{2}{3}$.
B.$2$.
C.$ – \ln 2$.
D.$2\ln 2$.
Hướng dẫn giải
$t = \sqrt {1 – x} \Rightarrow x = 1 – {t^2} \Rightarrow dx = – 2tdt$. Đổi cận $\left\{ \begin{gathered} x = – 8 \Rightarrow t = 3 \hfill \\ x = – 3 \Rightarrow t = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
$\begin{array}{l} I = \int\limits_{ – 8}^{ – 3} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {1 – x} }}dx} \\ = \int\limits_3^2 {\frac{{ – 2tdt}}{{\left( {1 – {t^2}} \right)t}}} \\ = 2\int\limits_2^3 {\frac{{tdt}}{{\left( {1 – {t^2}} \right)t}}} \\ = 2\int\limits_2^3 {\frac{{dt}}{{1 – {t^2}}}} \\ = \left. {\ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t – 1}}} \right|} \right|_2^3 = \ln \frac{2}{3}. \end{array}$
Câu 4. Cho ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\sqrt {3\sin x + 1} dx} $,${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{{{(\sin x + 2)}^2}}}} dx$. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A.${I_1} = \frac{{14}}{9}$.
B.${I_1} > {I_2}$.
C. ${I_2} = 2\ln \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$.
D.${I_2} = 2\ln \frac{3}{2} – \frac{2}{3}$.
Hướng dẫn giải
$\begin{gathered} {I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\sqrt {3\sin x + 1} } dx = \int\limits_1^4 {\frac{{\sqrt t }}{3}dt} = \frac{{14}}{9} \hfill \\ {I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{{{(\sin x + 2)}^2}}}dx} = 2\int\limits_2^3 {\left( {\frac{1}{t} – \frac{2}{{{t^2}}}} \right)dt} = 2\ln \frac{3}{2} – \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} $
Câu 5. Kết quả phép tính tích phân $I = \int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {3x + 1} }}} $ có dạng $I = a\ln 3 + b\ln 5$$(a,b \in \mathbb{Z})$. Khi đó ${a^2} + ab + 3{b^2}$ có giá trị là
A. 1.
B. 5.
C. 0.
D. 4.
Hướng dẫn giải
$\begin{array}{l} I = \int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {3x + 1} }}} \\ = 2\int\limits_2^4 {\frac{1}{{{t^2} – 1}}dt} \\ = \int\limits_2^4 {\left( {\frac{1}{{t – 1}} – \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt} = 2\ln 3 – \ln 5 \end{array}$
suy ra $a = 2,b = – 1$. Vậy ${a^2} + ab + 3{b^2} = 4 – 2 + 3 = 5$.
Câu 6. Với $n \in \mathbb{N},n > 1$, giá trị của tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt[n]{{\sin x}}}}{{\sqrt[n]{{\cos x}} + \sqrt[n]{{\sin x}}}}dx} $ là
A. $ – \frac{\pi }{4}$.
B. $\frac{\pi }{4}$.
C. $\frac{{3\pi }}{4}$.
D. $ – \frac{{3\pi }}{4}$.
Hướng dẫn giải
Đặt $t = \frac{\pi }{2} – x \Rightarrow dx = – dt$
$\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\sin x)} dx = – \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {f\left( {\sin \left( {\frac{\pi }{2} – t} \right)} \right)dt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos t)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \\ \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt[n]{{\sin x}}}}{{\sqrt[n]{{\cos x}} + \sqrt[n]{{\sin x}}}}dx} = 2I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} \end{array}$
Câu 7. Giá trị của tích phân $\int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {1 – \cos 2x} dx} $ là
A. $3034\sqrt 2 $.
B. $ – 4043\sqrt 2 $.
C. $3043\sqrt 2 $.
D. $4034\sqrt 2 $.
Hướng dẫn giải
Do hàm số $f(x) = \sqrt {1 – \cos 2x} $ là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì $T = \pi $
nên ta có
$\begin{array}{l} \int\limits_0^T {f(x)dx} = \int\limits_T^{2T} {f(x)dx} = \int\limits_{2T}^{3T} {f(x)dx} = … = \int\limits_{(n – 1)T}^{nT} {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^{nT} {f(x)dx} = \int\limits_0^T {f(x)dx} + \int\limits_T^{2T} {f(x)dx} + … + \int\limits_{(n – 1)T}^{nT} {f(x)dx} = n\int\limits_0^T {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {1 – \cos 2x} dx} = 2017\int\limits_0^\pi {\sqrt {1 – \cos 2x} dx} \\ = 2017\sqrt 2 \int\limits_0^\pi {\sin xdx = 4034\sqrt 2 } \end{array}$