Ở bài tập tích phân ta đã được thực hành các kiến thức căn bản thì bài này sẽ giới thiệu kiến thức nâng cao. Đây là những bài tập được được trích trong đề thi thử của nhiều sở, trường chuyên,… trên toàn quốc. Mong muốn với hệ thống trắc nghiệm tích phân này sẽ giup hs đạt kết quả cao.
Bài tập 1.[ Đề thi thử sở GD Hà Nội ] Giá trị tích phân $J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^4}x + 1} \right)\cos x} dx$ là
A. $\frac{2}{5}$.
B. $\frac{3}{5}$.
C.$\frac{4}{5}$.
D. $\frac{6}{5}$.
Hướng dẫn giải
$J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^4}x + 1} \right)\cos x} dx = \left. {\left( {\frac{1}{5}{{\sin }^5}x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{6}{5}$
Bài tập 2.[ Đề thi thử chuyên Hà Giang ] Giá trị của tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x)} ({\sin ^6}x + {\cos ^6}x)dx$ là
A. $I = \frac{{32}}{{128}}\pi $.
B. $I = \frac{{33}}{{128}}\pi $.
C. $I = \frac{{31}}{{128}}\pi $.
D. $I = \frac{{30}}{{128}}\pi $.
Hướng dẫn giải
Ta có: $({\sin ^4}x + {\cos ^4}x)({\sin ^6}x + {\cos ^6}x)$$ = \frac{{33}}{{64}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{64}}\cos 8x$ => $I = \frac{{33}}{{128}}\pi $.
Bài tập 3. [ Đề thi thử chuyên Lê Hồng Phong ]Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{dx}}{{x\ln x}}} \) là
A. $2\ln 3$.
B. $\ln 3$.
C. $\ln 2$.
D. $2\ln 2$.
Hướng dẫn giải
Đặt $t = \ln x$; \(x = e \Rightarrow t = 1,{\rm{ }}x = {e^2} \Rightarrow t = 2\) \( \Rightarrow I = \int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t}} = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_1^2 = \ln 2\).
Bài tập 4. [ Đề thi thử chuyên Vĩnh Phúc ] Giá trị của a để đẳng thức \(\int\limits_1^2 {\left[ {{a^2} + (4 – 4a)x + 4{x^3}} \right]dx} = \int\limits_2^4 {2xdx} \) là đẳng thức đúng
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Hướng dẫn giải
$\begin{array}{l}12 = \int\limits_1^2 {\left[ {{a^2} + (4 – 4a)x + 4{x^3}} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {{a^2}x + (2 – 2a){x^2} + {x^4}} \right]} \right|_1^2 \Rightarrow a = 3.\end{array}$
Bài tập 5. [ Đề thi thử chuyên sơn La] Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{{x^2} + {a^2}}}} \,\,(a > 0)\) là
A.\(\frac{\pi }{{4a}}\).
B.\(\frac{{{\pi ^2}}}{{4a}}\).
C.\( – \frac{{{\pi ^2}}}{{4a}}\).
D.\( – \frac{\pi }{{4a}}\).
Hướng dẫn giải
Đặt $x = a\tan t;\;\;t \in \left( {\frac{\pi }{2}; – \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow dx = a(1 + {\tan ^2}t)dt$.
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = a \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.$ – \ln 2$\).
Vậy \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{a(1 + ta{n^2}t)}}{{{a^2}{{\tan }^2}t + {a^2}}}dt} = \frac{1}{a}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt = \frac{\pi }{{4a}}} \).
Bài tập 6. [ Đề thi thử chuyên Vinh ] Giá trị của tích phân $I = \int\limits_{ – 8}^{ – 3} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {1 – x} }}dx} $ là
A.$\ln \frac{2}{3}$.
B.$2$.
C. $3\ln 2$.
D.$2\ln 2$.
Hướng dẫn giải
Đặt $t = \sqrt {1 – x} \Rightarrow x = 1 – {t^2} \Rightarrow dx = – 2tdt$.
Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = – 8 \Rightarrow t = 3\\x = – 3 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.$.
$\begin{array}{l}I = \int\limits_{ – 8}^{ – 3} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {1 – x} }}dx} \\ = \int\limits_3^2 {\frac{{ – 2tdt}}{{\left( {1 – {t^2}} \right)t}}} \\ = 2\int\limits_2^3 {\frac{{tdt}}{{\left( {1 – {t^2}} \right)t}}} \\ = 2\int\limits_2^3 {\frac{{dt}}{{1 – {t^2}}}} \\ = \left. {\ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t – 1}}} \right|} \right|_2^3 = \ln \frac{2}{3}.\end{array}$
Bài tập 7. [ Đề thi thử chuyên sở GD Hà Nội] Với \(n \in \mathbb{N},n \ge 1\), tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {1 – \cos x} \right)}^n}\sin xdx} $ có giá trị bằng
A. $\frac{1}{{2n}}$.
B. $\frac{1}{{n – 1}}$.
C. $\frac{1}{{n + 1}}$.
D. $\frac{1}{n}$.
Hướng dẫn giải
$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {1 – \cos x} \right)}^n}\sin xdx} \\ = \int_0^1 {{t^n}} dt\\ = \left. {\frac{{{t^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{n + 1}}\end{array}$.
Bài tập 8. [ Đề thi thử chuyên Hải Phong] Có mấy giá trị của b thỏa mãn \(\int\limits_0^b {(3{x^2} – 12x + 11)dx = 6} \)
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Hướng dẫn giải
$\begin{array}{l}\int\limits_0^b {(3{x^2} – 12x + 11)dx = \left( {{x^3} – 6{x^2} + 11x} \right)|_0^b} \\ = {b^3} – 6{b^2} + 11b – 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 2\\b = 3\end{array} \right.\end{array}$.
Rất nhiều kiến thức phải không nào? Toàn bộ những bài tập dạng này bạn đều có thể giải được nếu xem kĩ lại các bài tập trên một lần nữa ngoài ra có thể sẽ hệ thống công thức tích phân để có thể giải các bài nâng cao hơn.